Rational Catalan Combinatorics: The Associahedron

Each positive rational number x > 0 can be written uniquely as x = a/(b − a) for coprime positive integers 0 < a < b. We will identify x with the pair (a, b). In this extended abstract we use rational Dyck paths to define for each positive rational x > 0 a simplicial complex Ass(x) = Ass(a, b) called the rational associahedron. It is a pure simplicial complex of dimension a− 2, and its maximal faces are counted by the rational Catalan number Cat(x) = Cat(a, b) := (a+ b− 1)! a! b! . The cases (a, b) = (n, n + 1) and (a, b) = (n, kn + 1) recover the classical associahedron and its Fuss-Catalan generalization studied by Athanasiadis-Tzanaki and Fomin-Reading. We prove that Ass(a, b) is shellable and give nice product formulas for its h-vector (the rational Narayana numbers) and f -vector (the rational Kirkman numbers). We define Ass(a, b) . Résumé. Tout nombre rationnel positif x > 0 peut être exprimé de façon unique par x = a/(b− a) avec 0 < a < b deux entiers positifs premiers entre eux. Nous identifierons x avec la paire (a, b). Dans cet article, nous utilisons les chemins de Dyck rationnels pour définir pour tout rationnel positif x > 0 un complexe simplicial Ass(x) = Ass(a, b) que nous appelons l’associahedron rationnel. Il s’agit d’un complexe simplicial pur de dimension a− 2, et ses faces maximales sont comptées par le nombre rationnel de Catalan Cat(x) = Cat(a, b) := (a+ b− 1)! a! b! . Les cas (a, b) = (n, n+1) et (a, b) = (n, kn+1) permettent de retrouver l’associhedron classique et sa généralisation Fuss-Catalan, étudiée par Athanasiadis-Tzanaki et Fomin-Reading. Nous démontrons que Ass(a, b) est shellable et nous donnons des formules de produits simples pour son h-vecteur (les nombres rationnels de Narayana) et son f -vecteur (les nombres rationnels de Kirkman).